Divergencija polja

(Preusmjereno s Divergencija)

U vektorskoj analizi divergencija je operator kojim se određuje jakost izvorā vektorskog polja po prostoru.

Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.[1][2]

Divergencija je skalarno polje koje daje tok gustoće vektorskog polja u svakoj točki prostora. Kada se divergencija polja prointegrira unutar zatvorene plohe — ili pojednostavljeno, kada se pozbrajaju umnošci divergencije (kao volumne gustoće) i infinitezimalno sitnih djelića volumena zatvorenog tom plohom — dobije se tok vektorskog polja kroz plohu.[3]

Divergencija se najviše primjenjuje u fizici. Neki od najvažnijih zakona u elektromagnetizmu i hidrodinamici iskazani su preko divergencije električnih, magnetskih i polja brzine fluida. Divergencija električnog polja tako je nula gdjegod nema naboja; pozitivna je na mjestu pozitivnih naboja te su oni izvori tog polja, a negativna na mjestu negativih naboja koji su njegovi ponori. Divergencija magnetskog polja uvijek je nula, magnetsko polje nema zasebne izvore i ponore — ne postoje magnetski monopoli.

DefinicijaUredi

 
Divergencija polja F u točki x je granična vrijednost toka polja kroz plohu Si podijeljenog volumenom Vi kako se volumeni sažimaju prema samoj točki.

Divergencija vektorskog polja   u točki   definira se kao granična vrijednost toka polja kroz zatvorenu plohu koja obuhvaća tu točku kako se ploha prema njoj sažima. Budući da je tok polja dan površinskim integralom funkcije  , divergencija je[3][4]

 .

Ovdje je V volumen zahvaćen zatvorenom plohom S(V) koja okružuje točku  , a dS infinitezimalni element plohe sa smjerom normale na plohu.

Budući da su i tok polja i volumen skalari, i divergencija je kao limes njihova omjera skalar. Divergencija je dakle skalarno polje koje karakterizira vektorsko polje na koje djeluje. Točke prostora gdje je   nazivaju se izvorima, a točke gdje je   ponorima polja.

Definicija divergencije ne ovisi o koordinatnom sustavu. U primjeni se pak rijetko koristi definicija pa se oblik operatora divergencije veže za izabrani koordinatni sustav.

Gaussov teoremUredi

Za divergenciju vektorskog polja   vrijedi Gaussov teorem, ponegdje zvan i teoremom Gaussa i Ostrogradskog,[5]

 

Teorem kaže da je integral divergencije polja po volumenu zatvorenom nekom plohom jednak toku polja kroz tu plohu. Fizički, ovo znači da ako se u danom volumenu materija ne stvara i ne uništava, njena se gustoća može mijenjati samo njenim protjecanjem kroz granicu volumena.[5]

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavuUredi

 
Tok polja F kroz infinitezimalno malenu zatvorenu plohu unutar koje je točka (x0,y0,z0).

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu dobije se iz opće definicije razmatranjem toka polja kroz stranice kvadra koji sadrži točku s koordinatama  .[3][6] Možemo uzeti da je ova točka u središtu kvadra i da su duljine njegovih stranica Δx, Δy i Δz.

Tok polja   kroz prednju plohu kvadra kojoj normala gleda u smjeru pozitivne osi x, bit će

 

dok će tok polja kroz nasuprotnu plohu, kojoj normala gleda u smjeru negativne osi x biti

 .

Ovdje Syz označava sljedeće granice integracije po osima y i z:  ,  .

Ukupnom toku kroz oplošje kvadra ove će dvije plohe doprinijeti s

 .

U prijelazu na infinitezimalne veličine, može se uzeti da se integrand   ne mijenja mnogo u intervalu integracije. Doprinos toku polja s dviju nasuprotnih stranica stoga je

 .

Isto se razmatranje može ponoviti i za preostale plohe u nasuprotnim parovima. Tok polja kroz oplošje kvadra bit će zbroj triju pribrojnika s izmijenjenim komponentama polja i osima parcijalne derivacije.

 

Prema definiciji, divergencija u točki   bit će

 

I općenito, u bilo kojoj točki  

 

Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Operator divergencije simbolički se piše pomoću Hamiltonova operatora nabla:

 

Divergencija u drugim koordinatnim sustavimaUredi

 
 

Svojstva operatora divergencijeUredi

Za dana vektorska polja   i  , skalar  , skalarnu funkciju   i vektor položaja   vrijedi:[2]

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

PrimjerUredi

Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja postavljenog u ishodištu sustava danog Coulombovim zakonom

 

iznosi

 

u svakoj točki prostora osim u ishodištu. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon u prostoru gdje nema naboja.

Vezani pojmoviUredi

IzvoriUredi

  1. Salih Suljagić (11. ožujka 2000.). Skalarna i vektorska polja Arhivirano s izvorne stranice 22. listopada 2018., pristupljeno 19. listopada 2020.
  2. 2,0 2,1 Ivan Slapničar. Vektorska analiza Arhivirano s izvorne stranice 28. prosinca 2019., pristupljeno 19. listopada 2020.
  3. 3,0 3,1 3,2 Eric W. Weisstein. Divergence (engleski) pristupljeno 19. listopada 2020.
  4. Salih Suljagić (11. ožujka 2000.). Plošni integrali Arhivirano s izvorne stranice 22. listopada 2018., pristupljeno 19. listopada 2020.
  5. 5,0 5,1 Eric W. Weisstein. Divergence Theorem (engleski) pristupljeno 19. listopada 2020.
  6. The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 3: Vector Integral Calculus pristupljeno 19. listopada 2020.