Otvori glavni izbornik

U vektorskoj analizi i teoriji polja, divergencija je veličina koja odražava svojstva polja po točkama u prostoru. Najviše se primjenjuje u fizici, pogotovo u elektromagnetizmu i hidrodinamici.

Sadržaj

DefinicijaUredi

Potražimo izdašnost vektorskog polja   u nekoj točki. Neka je   obujam koji obuhvaća površina  . Jasno je da je srednja vrijednost "izdašnosti" u toj točki onda

 

Pustimo li sada da se taj obujem smanjuje tako da  , dobivamo graničnu vrijednost za točno određenu točku. Upravo taj izraz nazivamo divergencijom vektorskog polja:

 

SvojstvaUredi

Očito je divergencija skalarna veličina (i brojnik i nazivnik su skalari!), što znači da je vektorsko polje preko divergencije povezano sa skalarnim poljem.

Isto tako, vidimo da je divergencija definirana bez ikakvog koordinatnog sustava. Dakle, divergencija je invarijanta polja. Stoga, nije važno polazi li radij-vektor iz ishodišta koordinatnog sustava ili ne, jer divergencija ne zavisi o koordinatnom sustavu.

Točke prostora gdje je   nazivamo izvorima, a točke gdje je   nazivamo ponorima.

 
Shematski prikaz uz izvod za divergenciju u pravokutnom koordinatnom sustavu

Divergencija u kartezijevom sustavuUredi

Napišimo najprije izračun toka iz kvadra bridova  , kojem je jedan od vrhova na koordinatama  :

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Sada to uvrstimo u već poznati izraz za divergenciju:

 
 

Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Očito divergenciju možemo simbolički pisati pomoću Hamiltonova operatora nabla:

 

Gaussov teoremUredi

Za divergenciju vrijedi Gaussov teorem:

 

Divergencija u drugim koordinatnim sustavimaUredi

 
 

Divergencija i algebarske operacijeUredi

Neka su dana vektorska polja   i  , skalar  , skalarna funkcija   i radij-vektor  . Tada vrijedi:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

PrimjerUredi

Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja,

 

iznosi

 

Ovdje smo gledali polje u bilo kojoj točki prostora, a ne u ishodišu, koristeći invarijantnost divergencije. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon (ne teorem!) u prostoru gdje nema naboja.

Vezani pojmoviUredi

Vanjske povezniceUredi