Otvori glavni izbornik

Riemannova zeta-funkcija

Riemannova zeta-funkcija u kompleksnoj ravnini
Riemannova zeta-funkcija za realni s > 1

U matematici, Riemannova zeta-funkcija, nazvana po Bernhardu Riemannu, je važna funkcija u teoriji brojeva zbog veze s teoremom o raspodjeli prim-brojeva. Također se primjenjuje u fizici, teoriji vjerojatnosti, i primjenjenoj statistici.

DefinicijaUredi

Funkcija ζ(s) je funkcija kompleksne varijable s i najprije se definirala sljedećom beskonačnom sumom:

 

Leonhard Euler je otkrio vezu zeta-funkcije i raspodjele prim-brojeva:

 

gdje, po definiciji, lijeva strana je ζ(s) a beskonačni produkt na desnoj strani je po svim prim-brojevima p.

Zeta-funkcija daje sljedeće vrijednosti za neke odabrane brojeve:

 
 
 ; (harmonički niz)
 ; koristi se za računanje kritične temperature Bose–Einsteinovog kondenzata u fizici.
 ; dokaz ove jednakosti je tzv. Bazelski problem.
 
 ; tzv. Apéryjeva konstanta
 
 

Poznato je da zeta-funkcija ima nultočke -2, -4, -6... One se nazivaju trivijalnima. Hipoteza da sve ostale (kompleksne) nultočke imaju realni dio jednak 1/2 je poznata kao Riemannova hipoteza i do sada nije riješena.

Vidi jošUredi

LiteraturaUredi

  • Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859). In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
  • Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp 199-220.
  • Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464. (Globally convergent series expression.)
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

Vanjske povezniceUredi