Faktorijel

Prvih 15 faktorijela
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000

U matematici, faktorijel ili faktorijela prirodnog broja n je umnožak svih prirodnih brojeva manjih ili jednakih n.

Faktorijeli se koriste u kombinatorici, algebri te matematičkoj analizi.

Notaciju n! uveo je Christian Kramp 1808.

Osnovna svojstvaUredi

Definicija faktorijela:

 

Faktorijeli su rekurzivno određeni relacijom:

 

iz koje slijedi:

 

Faktorijeli brojeva većih od 1 su uvijek parni brojevi jer svaki broj pomnožen brojem 2, tj. bilo kojim parnim brojem, je paran broj.

Viši faktorijeliUredi

Viši faktorijeli se označavaju sa većim brojem '!', a njihov broj označava redni broj višeg faktorijela.

  gdje je m redni broj višeg faktorijela.
   

Približno računanje faktorijelaUredi

Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računalima je faktorijel broja 69. Faktorijel broja 70 ima više od sto znamenki, te se za svaki veći broj n može primijeniti tzv. Stirlingova formula za približno izračunavanje faktorijela.

Ona glasi:

 

Dvostruki faktorijel n!!Uredi

Izraz   označava dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih i neparnih brojeva.

Definiraju se na ovaj način:

 

Primjerice:

  •  

ili pak

  •  .

PrimorijelUredi

Ako imamo prirodni broj   tada je   umnožak prostih brojeva koji ne premašuju  . Izraz   znači n primorijela.

Preciznije,

 

Primijetimo da ćemo se, ako je   složen, pri računanju spuštati dok ne dođemo do prvog prostog broja. Zatim ćemo taj prosti broj zapisati u umnošku i opet se dalje spuštati do prvog manjeg prostog broja, pa zatim množimo onaj veći prosti broj s idućim manjim, i opet se spuštamo, itd. Time ćemo u konačnici zaista dobiti umnožak prostih brojeva manjih od  .

Evo kako bi tekao račun za  .

Dakle,   i sada računamo   i tako dalje sve do  . Kako je po definiciji   slijedi  .

Vidi jošUredi