Binomni koeficijent

U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao: 

Binomni koeficijenti se mogu organizirati u obliku Pascalova trokuta

i čita se n iznad ili povrh k. To je koeficijent člana  polinomne ekspanzije binomne potencije oblika . Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom:

Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.

Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.

Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije

Neka svojstva binomnih koeficijenata i dokaziUredi

Svojstvo simetrije:[1]:18

 

Kombinatorni dokaz.

Oznaka   predstavlja broj  -članih podskupova  -članog skupa, uz napomenu da, prema definiciji skupa, nikoja dva elementa nekog skupa nisu jednaka. Kako za svaki podskup od   elemenata postoji točno jedan poskup od preostalih   elemenata slijedi da vrijedi bijekcija između ova dva skupa odnosno da su oni ekvipotentni ili jednakobrojni.


Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta[1]:20 ili tzv. Pascalovo pravilo:

 

Kombinatorni dokaz.

Neka tražimo broj  -članih skupova od prvih   prirodnih brojeva ( ).

Neka je   skup svih takvih  -članih podskupova  -članog skupa. Vrijedi  .

Izaberimo neki element   iz  . Neka je   skup podskupova iz   koji sadrže  . Njih ima   jer preostalih   brojeva iz   (ne možemo opet birati   jer je očito već sadržan u tim podskupovima) raspoređujemo na preostalih   mjesto. Neka je pak s druge strane   skup podskupova iz   koji ne sadrže  . Ima ih   jer sada raspoređujemo sve elemente iz   osim elementa  , njih  , na svih   mjesta jer na nijednom mjestu nije element  

Očito je  , čime je tvrdnja dokazana.

Binomni koeficijent u matematičkoj analiziUredi

Za proizvoljan realni broj   binomni koeficijent se definira formulama:[2]

 

gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.

Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput   ili, između ostalog, da se   razvije u red za  .

IzvoriUredi

  1. a b Neven Elezović: Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije), Element, Zagreb, 2000.
  2. Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)


  Nedovršeni članak Binomni koeficijent koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.