Prosti broj

(Preusmjereno s Prost broj)

Prosti brojevi ili primbrojevi su svi prirodni brojevi veći od 1 koji su bez ostatka djeljivi samo s brojem 1 i sami sa sobom. Prirodni brojevi veći od 1 koji nisu prosti brojevi nazivaju se složenim brojevima.[1]:6 Na primjer, broj 5 je prost jer je djeljiv samo s 1 i 5, dok je 6 složen jer se osim s 1 i 6 može podijeliti i brojevima 2 i 3.

Prirodni brojevi od 0 do 100. Prosti brojevi su označeni crvenom bojom.
Eratostenovo sito do broja 120

Osnovni teoremi vezani uz strukturu prostih brojevaUredi

Euklidov teoremUredi

Ovdje ćemo metodom kontradikcije dokazati Euklidov teorem koji kaže da prostih brojeva ima beskonačno mnogo.[1]:9 Pretpostavimo da je   konačan skup svih prostih brojeva,

 

i promotrimo broj

 

Očito je ostatak pri dijeljenju ovog broja svakim od prostih brojeva iz   jednak jedan,

 

pa   nije djeljiv ni sa jednim od njih. No prema Osnovnom stavku aritmetike svaki bi se broj morao moći zapisati kao umnožak konačno mnogo prostih brojeva,[2] a za ovakav   to ne može biti nijedan broj iz skupa  . Očito postoje prosti brojevi izvan tog skupa, čime se početna tvrdnja dovodi u kontradikciju.

Prostih brojeva oblika   ima beskonačno mnogoUredi

Dokažimo sada da prostih brojeva oblika   ima beskonačno mnogo.[1]:9 Prije svega, jasno je da neparni prosti brojevi mogu isključivo biti u obliku   ili   Uočimo da vrijedi   tj. umnožak dva prosta broja oblika   je i sam tog oblika.

Pretpostavimo da je   skup svih prostih brojeva oblika  

Konstruirajmo sada neparni broj   Očito   daje ostatak 3 pri dijeljenju s 4 pa barem jedan njegov prosti faktor nije u obliku   odnosno barem je jedan faktor u obliku   Jasno je da niti jedan od   ne dijeli   jer očito   daje ostatak   tj.   pri dijeljenju s   To znači da postoji još barem jedan prosti broj oblika   izvan   kontradikcija.

Razmak između prostih brojevaUredi

Važno svojstvo prostih brojeva je da ne postoji najveći razmak između dva prosta broja. To je zbog toga što postoji proizvoljno velik skup uzastopnih složenih brojeva između svaka dva prosta broja. Takav skup je primjerice

 

Ovo vrijedi jer je svaki broj   redom djeljiv s 2, 3, ..., n pa su brojevi složeni.

Ipak, jasno je da ovo ne dokazuje da postoji beskonačno mnogo parova prostih brojeva   koji su udaljeni za točno   Tome svjedoči tzv. hipoteza o prostim brojevima blizancima koja kaže da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva koji su udaljeni za točno 2, no ta hipoteza do danas nije dokazana.[3] Isto tako, nije dokazano da postoji beskonačno mnogo parova prostih brojeva čija je je razlika jednaka  . Primijetimo da je ova tvrdnja izravna posljedica toga da hipoteza o prostim brojevima blizancima nije dokazana.

Uz to, nije dokazano ni da za svaki   možemo naći neka dva prosta broja   takva da je  .

Uloga prostih brojevaUredi

Prosti brojevi služe pri faktorizaciji, odnosno rastavljanju složenih brojeva na proste ili prim-faktore.

Svaki se složeni broj može na jedinstven način rastaviti na nekoliko prim-faktora, a ako je broj   prost tada je jedina takva faktorizacija očito  .

  125|5      34|2
   25|5      17|17
    5|5       1 
    1
  
  125=5*5*5   34=2*17

Neka pravila djeljvostiUredi

Ako je broj paran (zadnja znamenka mu je 2, 4, 6, 8 ili 0) onda je djeljiv s prostim brojem 2.

Ako broj završava znamenkama 5 ili 0 onda je djeljiv s prostim brojem 5.

Ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3, onda je taj broj djeljiv s 3.

Ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s brojem 4, onda je taj broj djeljiv s 4.

Ova pravila možemo međusobno kombinirati. Na primjer, ako je broj djeljiv i s 2 i s 3, onda je taj broj zacijelo djeljiv i s brojem 6.

Ako je troznamenkasti broj djeljiv s 8, onda je taj broj djeljiv s 8,

Ako je zbroj znamenaka nekog broja djeljiv s 9, onda je taj broj djeljiv s 9.

Vrijede dakako i obrati svih navedenih tvrdnji.

ZanimljivostiUredi

Poznata je rečenica velikog švicarskog matematičara Leonharda Eulera vezana uz proste brojeve:[4]

Matematičari su uzalud do danas pokušavali otkriti pravilnost u slijedu prostih brojeva, a mi imamo razloga vjerovati da je to misterija u koju ljudski um nikada neće prodrijeti.

IzvoriUredi

  1. 1,0 1,1 1,2 Andrej Dujella (2008.). Uvod u teoriju brojeva (PDF). Zagreb: Prirodoslovno-matematički fakultet
  2. Ivan Matić (2013.). Uvod u teoriju brojeva (PDF): str. 11
  3. https://hrcak.srce.hr › filePDF Prosti brojevi blizanci
  4. Euler, Leonhard (1707-1783) | Mathematical Association of America. www.maa.org. Pristupljeno 7. travnja 2021.

Vanjske povezniceUredi


  Nedovršeni članak Prosti broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.