Binomni koeficijent

U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao: 

Binomni koeficijenti se mogu organizirati u obliku Pascalova trokuta

${\binom {n}{k}}$

i čita se n iznad ili povrh k. To je koeficijent člana $x^{k}$ polinomne ekspanzije binomne potencije oblika $(1+x)^{n}$. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom:

${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.

Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.

Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije

Neka svojstva binomnih koeficijenata i dokazi

Svojstvo simetrije:

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$

Kombinatorni dokaz.

Oznaka ${\binom {n}{k}}$ predstavlja broj $k$-članih podskupova $n$-članog skupa, uz napomenu da, prema definiciji skupa, nikoja dva elementa nekog skupa nisu jednaka. Kako za svaki podskup od $k$ elemenata postoji točno jedan poskup od preostalih $n-k$ elemenata slijedi da vrijedi bijekcija između ova dva skupa odnosno da su oni ekvipotentni ili jednakobrojni.

Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta ili tzv. Pascalovo pravilo:

${\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}={\binom {n}{k}}$

Kombinatorni dokaz.

Neka tražimo broj $k$-članih skupova od prvih $n$ prirodnih brojeva ($\{1,2,...,n\}$).

Neka je $S$ skup svih takvih $k$-članih podskupova $n$-članog skupa. Vrijedi $|S|={\binom {n}{k}}$.

Izaberimo neki element $x$ iz $\{1,2,...,n\}$. Neka je $S_{1}$ skup podskupova iz $S$ koji sadrže $x$. Njih ima $|S_{1}|={\binom {n-1}{k-1}}$ jer preostalih $n-1$ brojeva iz $\{1,2,...,n\}$ (ne možemo opet birati $x$ jer je očito već sadržan u tim podskupovima) raspoređujemo na preostalih $k-1$ mjesto. Neka je pak s druge strane $S_{2}$ skup podskupova iz $S$ koji ne sadrže $x$. Ima ih $|S_{2}|={\binom {n-1}{k}}$ jer sada raspoređujemo sve elemente iz $\{1,2,...,n\}$ osim elementa $x$, njih $n-1$, na svih $k$ mjesta jer na nijednom mjestu nije element $x.$

Očito je $|S_{1}|+|S_{2}|=|S|$, čime je tvrdnja dokazana.

Binomni koeficijent u matematičkoj analizi

Za proizvoljan realni broj $\alpha$ binomni koeficijent se definira formulama:

${\binom {\alpha }{0}}=1,{\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdot \cdot \cdot (\alpha -k+1)}{k!}}$

gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.

Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput ${\binom {\frac {-1}{2}}{k}}$ ili, između ostalog, da se $(1+x)^{\alpha }$ razvije u red za $x\in (-1,1)$.

Izvori

Nedovršeni članak Binomni koeficijent koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.