Rapiditet

Rapiditet je veličina srodna brzini koja se koristi u fizici u teoriji relativnosti. Matematički se može definirati kao hiperbolni kut između dva referentna sustava koji se gibaju jedan u odnosu na drugi.

Prednost korištenja rapiditeta u odnosu na brzinu pri relativističkim brzinama je činjenica da je rapiditet aditivan pri gibanju u jednoj dimenziji. Drugim riječima, ako se neki objekt jednoliko giba brzinom v1 i rapiditetom y1 u odnosu na promatrača A, a dotični promatrač se giba u istom smjeru brzinom v2 i rapiditetom y2 u odnosu na promatrača B, tada kretanje objekta u odnosu na promatrača B možemo rapiditetima jednostavno opisati kao

dok za brzinu vrijedi kompliciranija jednakost

U odnosu na brzinu, rapiditet se definira kao

gdje je v brzina kretanja, c brzina svjetlosti, a Arth označava funkciju area tangens hiperbolni (inverz tangensa hiperbolnog).

Pri malim brzinama, rapiditet je proporcionalan brzini; . No kako se brzina približava brzini svjetlosti, rapiditet brže raste i teži u beskonačnost. U teoriji relativnosti za sve moguće brzine masenih čestica vrijedi odnosno . Kako je domena area tangensa hiperbolnog interval , a slika svi realni brojevi, tako se i interval preslikava u .

PovijestUredi

Hermann Minkowski je 1908. primijetio da se Lorentzova transformacija može opisati kao hiperbolna rotacija (rotacija za imaginarni kut) u prostorvremenskim koordinatama.[1] Time dobivamo veličinu koja se može zbrajati u okviru teorije relativnosti na isti jednostavan način kao što se zbrajaju brzine u klasičnoj mehanici. Opis kuta pomoću rapiditeta dali su 1910. Vladimir Varićak[2] i E. T. Whittaker, a naziv je rapiditetu sljedeće godine nadjenuo Alfred Robb.

Rapiditet u jednoj prostornoj dimenzijiUredi

Lorentzova transformacija može se prikazati kao matrični produkt uz pomoć rapiditeta

 .

Lako se pokaže da vrijedi  , iz čega proizlazi svojstvo aditivnosti rapiditeta. Neka su A, B i C referentni sustavi, a yXY označava rapiditet kretanja referentnog sustava X u odnosu na Y; tada vrijedi

 .

Lorentzov faktor γ također se može prikazati kao kosinus hiperbolni od rapiditeta:

 

Odnos relativističnog Dopplerovog efekta i rapiditeta je:

 

U četverodimenzionalnom prostorvremenuUredi

Neka je brzina objekta  . Rapiditet se tada opisuje kao vektor  , gdje je   jedinični vektor u smjeru vektora  .

Zbroj rapiditeta y1 i y2 razdvojenih kutem α može se izraziti kao:

 

U fizici elementarnih česticaUredi

Energija E i količina gibanja p masene čestice su:

 
 

Koristeći definiciju rapiditeta y = Arth v/c možemo izvesti:

 
 

što možemo uvrstiti u prijašnje formule da energiju i količinu gibanja izrazimo pomoću rapiditeta:

 
 

Obratno, vrijedi i

 

U eksperimentalnoj fizici elementarnih čestica koristi se promijenjena definicija rapiditeta, u odnosu na z-os, koja je os kojom se gibaju čestice ubrzane u eksperimentu:

 

To je rapiditet Lorentzove transformacije između referentnog sustava laboratorija i sustava u kojem se čestica kreće okomito na z-os.

Pri proučavanju sudara čestice fizičari obično koriste pseudorapiditet, koji se ovdje lakše mjeri nego rapiditet, a i dobra je aproksimacija pri relativističkim brzinama, jer teži k rapiditetu kako se brzina približava c:

 

gdje je θ kut između smjera kretanja izlazne čestice i osi sudara.

IzvoriUredi