Hiperbolne funkcije

Hiperbolne funkcije su funkcije u matematici koje odgovaraju trigonometrijskim funkcijama (sinus, kosinus itd.) na hiperboli. Nezavisno su ih otkrili 1760.-ih godina matematičari Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert, koji ih je koristio za računanje površine hiperbolnog trokuta. Tek su u 19. stoljeću našle širu upotrebu nakon Lobačevskijevog otkrića hiperbolne geometrije.

Graf osnovnih hiperbolnih funkcija
Geometrijski prikaz hiperbolnih funkcija. Desna polovica jedinične hiperbole, apscisa i pravac kroz ishodište i točku (ch a, sh a) zatvaraju površinu ploštine a/2.

Dok skup svih točaka oblika (cos x, sin x) čini jediničnu kružnicu x2 + y2 = 1, skup (ch x, sh x) čini desnu stranu hiperbole x2 - y2 = 1. Hiperbolne funkcije usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama, između ostalog zbog jednakosti (iy)2 = −y2.

Osnovne hiperbolne funkcijeUredi

Osnovne hiperbolne funkcije su:

  • sinus hiperbolni:  
  • kosinus hiperbolni:  

Prethodne dvije funkcije su ujedno redomi neparni i parni dio eksponencijalne funkcije. Iz njih se izvode tangens i kotangens hiperbolni:

  • tangens hiperbolni:  
  • kotangens hiperbolni:  

Rijetko se koriste:

  • sekans hiperbolni:  
  • kosekans hiperbolni:  

Area funkcijeUredi

Hiperbolne funkcije nisu periodične, za razliku od običnih trigonometrijskih funkcija, stoga mogu imati prave inverze. Inverzi hiperbolnih funkcija su area funkcije (oznaka: Ar); to je hiperbolni analogon arkus funkcijama na kružnici:

  • area sinus hiperbolni, Arsh
  • area kosinus hiperbolni, Arch
  • area tangens hiperbolni, Arth
  • area kotangens hiperbolni, Arcth, itd.

Hiperbolni sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije, te stoga imaju prave inverze, dok je kosinus hiperbolni paran, pa area kosinus hiperbolni definiramo kao inverz desne polovice (x ≥ 0) funkcije ch x.

JednakostiUredi

 
 
 
 

DerivacijeUredi

 

Zbog svojih banalnih derivacija, area funkcije se relativno često pojavljuju kao integrali jednostavnijih funkcija.

Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni jednaki su vlastitoj drugoj derivaciji:

 

Sve funkcije s tim svojstvom (uključujući ex i e−x) su linearne kombinacije sh i ch.

Vidi iUredi

Vanjske povezniceUredi