Hiperbolne funkcije
Hiperbolne funkcije su funkcije u matematici koje odgovaraju trigonometrijskim funkcijama (sinus, kosinus itd.) na hiperboli. Nezavisno su ih otkrili 1760.-ih godina matematičari Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert, koji ih je koristio za računanje površine hiperbolnog trokuta. Tek su u 19. stoljeću našle širu upotrebu nakon Lobačevskijevog otkrića hiperbolne geometrije.
Dok skup svih točaka oblika (cos x, sin x) čini jediničnu kružnicu x2 + y2 = 1, skup (ch x, sh x) čini desnu stranu hiperbole x2 - y2 = 1. Hiperbolne funkcije usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama, između ostalog zbog jednakosti (iy)2 = −y2.
Osnovne hiperbolne funkcije
urediOsnovne hiperbolne funkcije su:
Prethodne dvije funkcije su ujedno redomi neparni i parni dio eksponencijalne funkcije. Iz njih se izvode tangens i kotangens hiperbolni:
Rijetko se koriste:
Area funkcije
urediHiperbolne funkcije nisu periodične, za razliku od običnih trigonometrijskih funkcija, stoga mogu imati prave inverze. Inverzi hiperbolnih funkcija su area funkcije (oznaka: Ar); to je hiperbolni analogon arkus funkcijama na kružnici:
- area sinus hiperbolni, Arsh
- area kosinus hiperbolni, Arch
- area tangens hiperbolni, Arth
- area kotangens hiperbolni, Arcth, itd.
Hiperbolni sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije, te stoga imaju prave inverze, dok je kosinus hiperbolni paran, pa area kosinus hiperbolni definiramo kao inverz desne polovice (x ≥ 0) funkcije ch x.
Jednakosti
urediDerivacije
urediZbog svojih banalnih derivacija, area funkcije se relativno često pojavljuju kao integrali jednostavnijih funkcija.
Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni jednaki su vlastitoj drugoj derivaciji:
Sve funkcije s tim svojstvom (uključujući ex i e−x) su linearne kombinacije sh i ch.
Vidi i
urediVanjske poveznice
uredi- Hiperbolne funkcije, Hrvatska enciklopedija
- Elementarne funkcije, grad.hr
Trigonometrijske i hiperbolne funkcije |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|