Razlomak

(Preusmjereno s Razlomci)

U matematici, razlomak je broj koji opisuje jedan ili više jednakih dijelova cjeline.

Kolač podijeljen na četvrtine, s jednom četvrtinom uklonjenom. Svaku četvrtinu opisuje razlomak ¼, a sve tri zajedno razlomak ¾.

Jednostavni ili obični razlomak je količnik koji se dobiva dijeljenjem cijelog broja prirodnim. Zapisuje se pomoću kose crte kao npr. 7/4 ili pomoću vodoravne razlomačke crte npr. .

Skup svih brojeva koji se mogu zapisati pomoću jednostavnog razlomka zove se skup racionalnih brojeva, a označava se znakom .

Djeljenik se zove brojnik razlomka, a nalazi se lijevo od kose crte ili iznad razlomačke crte. Djelitelj se zove nazivnik razlomka, a nalazi se desno od kose crte ili ispod razlomačke crte.

ZapisivanjeUredi

Pravi razlomak je razlomak čija je apsolutna vrijednost manja od 1, npr.  . Apsolutna vrijednost nepravog razlomka veća je ili jednaka 1, npr.  .

Miješani broj suma je cijelog broja različitog od nule i pravog razlomka. Suma je prikazana bez znaka plus "+". Na primjer, ako imamo dvije torte i tri četvrtine treće torte, imamo   torte. Nepravi razlomak   pretvaramo u miješani broj   tako da podijelimo brojnik s nazivnikom, tada je cijeli dio količnika a, ostatak je b, a nazivnik c ostaje isti kao na početku.

Dvojni razlomak je razlomak kojemu su brojnik i nazivnik razlomci. Pojednostavljuju se u jednostavan razlomak tako da je novomu razlomku brojnik umnožak vanjskih brojeva, a nazivnik umnožak unutarnjih brojeva. Alternativno, možemo najdulju razlomačku crtu zamijeniti znakom za dijeljenje pa podijeliti dobivene razlomke:

 

Ako je brojnik ili nazivnik dvojnog razlomka cijeli broj tada ga pišemo u obliku razlomka s nazivnikom 1:

 

OmjerUredi

Razlomak se može pisati i u obliku omjera npr.  , za koji vrijedi:

 
 
 
 

Aritmetičke operacijeUredi

Proširivanje razlomakaUredi

Razlomak proširujemo tako da njegov brojnik i nazivnik pomnožimo nekim cijelim brojem c. Prošireni razlomak je jednak početnom razlomku.

 

Skraćivanje razlomakaUredi

Razlomak skraćujemo tako da njegov brojnik i nazivnik podijelimo nekim cijelim brojem c. U pravilu su brojnik i nazivnik djeljivi brojem c. Skraćeni razlomak jednak je početnom razlomku.

 

Parnost nazivnikaUredi

Vjerojatnost da je nazivnik nekog razlomak paran iznosi 1 : 3 jer imamo tri mogućnosti za brojnik i nazivnik: oba su neparna; brojnik je paran, a nazivnik neparan; brojnik je neparan, a nazivnik paran. Ne promatramo slučaj kad su i brojnik i nazivnik parni, jer se tada razlomak može skratiti i u tom slučaju brojnik ili nazivnik je neparan.

Recipročna vrijednostUredi

Ako imamo jednostavni razlomak  , recipročna vrijednost iznosi mu  .[1] Recipročna vrijednost cijelog broja a iznosi  . Recipročna vrijednost broja oblika jednostavnog razlomka   iznosi a.

Zbrajanje i oduzimanjeUredi

Prilikom zbrajanja i oduzimanja, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. On je najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički nazivnik, brojnici se zbroje ili oduzmu ovisno o operaciji.

 

Ukoliko zbrajamo razlomak i cijeli broj, cijeli broj možemo pisati kao razlomak s nazivnikom 1 te normalno svodimo na zajednički nazivnik te ih zbrojimo.

 

MnoženjeUredi

Množenje dvaju razlomkaUredi

Razlomci se množe tako da im se pomnože brojnici te nazivnici. Umnožak brojnika postaje brojnik rezultata, a umnožak nazivnika postaje nazivnik rezultata.

 

Prilikom množenja dvaju ili više razlomaka bilo koji brojnik smije se pokratiti s nekim nazivnikom.

 


Množenje razlomka cijelim brojemUredi

Cijeli broj zapisujemo u obliku razlomka s nazivnikom 1 te normalno množimo brojnike i nazivnike.

 

DijeljenjeUredi

Razlomke dijelimo tako da djeljenik pomnožimo recipročnim djeliteljem.

 

UspoređivanjeUredi

Razlomke možemo usporediti tako da ih svedemo na zajednički nazivnik te im usporedimo brojnike. Ukoliko imamo mješovite brojeve, zapišemo ih u obliku nepravih razlomaka, svedemo ih na zajednički nazivnik te im usporedimo brojnike. Primijetimo da ne moramo svesti na zajednički nazivnik jer on ne sudjeluje u uspoređivanju brojnika. Zato razlomke   i   uspoređujemo unakrsno. Ukoliko je a · d < b · c, drugi je razlomak veći. Ako je a · d > b · c, prvi je razlomak veći. Inače, razlomci su jednaki.[2]

Intuitivan prikaz svojstava razlomakaUredi

Ovdje ćemo potanko dokazati svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja razlomaka. Nakon kojih će se, ma kako složen bio, svaki razlomak moći izračunati.

Napomena. Radi jednostavnosti, a bez smanjenja općenitosti, sve varijable koje budemo koristili bit će prirodni brojevi.

1. Svojstvo zbrajanja

  •  . Kako smijemo zbrajati samo polovine s polovinama, trećine s trećinama, ..., takvo pravilo vrijedi i ovdje. Brojevima   nađemo   odnosno najmanji zajednički višekratnik, ili ih jednostavno pomnožimo, iz čega slijedi pravilo. Ovdje smo koristili očitu jednakost  .

2. Svojstvo oduzimanja

  • Ovo pravilo direktno slijedi iz svojstva zbrajanja, tj. vrijedi

 .

3. Svojstvo množenja

  • Izravno iz definicije razlomka slijedi  .
  • Dokažimo da vrijedi  . Ovdje se zapravo pitamo koliko iznosi  -terostruka  -tina broja  . To je isto kao da prvo izračunamo  -tinu tog broja pa ju pomnožimo s  . Formalno,  , što je i trebalo dokazati. Sada je jasno i da je  .

4. Svojstvo dijeljenja

  • Pogledajmo odmah primjer dijeljenja dva razlomka. Dokažimo da vrijedi  . Naime da imamo primjerice razlomak  , to bi značilo da svaku  -terostruku  -tinu dijelimo na   jednakih dijelova, dakle nazivnik postaje  . No, ako taj   dijelimo još na  -tine to znači da razlomak postaje   puta veći.


Time su na jednostavan i praktičan način dokazana sva nužna i dovoljna pravila za račun s razlomcima.

Racionalizacija nazivnikaUredi

Nazivnik kao kvadratni korijenUredi

Racionaliziramo nazivnik tako da razlomak proširujemo brojem koji je jednak nazivniku razlomka.[3]

 

Nazivnik kao viši korijenUredi

Ako je nazivnik oblika  , razlomak proširujemo s  :

 

Nazivnik kao binomUredi

Ako je nazivnik oblika a - b, razlomak proširujemo s a + b.

 

Ako je nazivnik oblika a + b, razlomak proširujemo s a - b.

 

Ovo možemo primjeniti i na kompleksne brojeve gdje je i2 = -1:

 

Imenovanje nazivnikaUredi

Nazivnike je uobičajeno imenovati dodavanjem nastavka -ina na kraj broja.

Nazivnik Ime Nazivnik Ime Nazivnik Ime
1 cijelo[4] ili jednina[5] 6 šestina 11 jedanaestina
2 polovina 7 sedmina 12 dvanaestina
3 trećina 8 osmina 13 trinaestina
4 četvrtina 9 devetina 14 četrnaestina
5 petina 10 desetina 15 petnaestina

Vidi jošUredi

IzvoriUredi

  1. Recipročni brojevi. Eduvizija pristupljeno 28. srpnja 2016.
  2. Uspoređivanje razlomaka - 01. YouTube
  3. Racionalizacija nazivnika. Eduvizija pristupljeno 28. srpnja 2016.
  4. Koliko jedno cijelo ima polovina, trećina, četvrtina, .... YouTube
  5. Borjana Brdar, Marijana Hunjek i Nikola Lepen. str. 7. Uvođenje skupa racionalnih brojeva. Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu pristupljeno 28. srpnja 2016.