Hiperbolne funkcije

Hiperbolne funkcije su funkcije u matematici koje odgovaraju trigonometrijskim funkcijama (sinus, kosinus itd.) na hiperboli. Nezavisno su ih otkrili 1760.-ih godina matematičari Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert, koji ih je koristio za računanje površine hiperbolnog trokuta. Tek su u 19. stoljeću našle širu upotrebu nakon Lobačevskijevog otkrića hiperbolne geometrije.

Graf osnovnih hiperbolnih funkcija

Geometrijski prikaz hiperbolnih funkcija. Desna polovica jedinične hiperbole, apscisa i pravac kroz ishodište i točku (ch a, sh a) zatvaraju površinu ploštine a/2.

Dok skup svih točaka oblika (cos x, sin x) čini jediničnu kružnicu x² + y² = 1, skup (ch x, sh x) čini desnu stranu hiperbole x² - y² = 1. Hiperbolne funkcije usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama, između ostalog zbog jednakosti (iy)² = −y².

Osnovne hiperbolne funkcije

Osnovne hiperbolne funkcije su:

• sinus hiperbolni: $\operatorname {sh} x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
• kosinus hiperbolni: $\operatorname {ch} x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

Prethodne dvije funkcije su ujedno redomi neparni i parni dio eksponencijalne funkcije. Iz njih se izvode tangens i kotangens hiperbolni:

• tangens hiperbolni: $\operatorname {th} x=\tanh x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$
• kotangens hiperbolni: $\operatorname {cth} x=\coth x={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {1}{\operatorname {th} x}}$

Rijetko se koriste:

• sekans hiperbolni: $\operatorname {sech} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$
• kosekans hiperbolni: $\operatorname {cosech} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$

Area funkcije

Hiperbolne funkcije nisu periodične, za razliku od običnih trigonometrijskih funkcija, stoga mogu imati prave inverze. Inverzi hiperbolnih funkcija su area funkcije (oznaka: Ar); to je hiperbolni analogon arkus funkcijama na kružnici:

• area sinus hiperbolni, Arsh
• area kosinus hiperbolni, Arch
• area tangens hiperbolni, Arth
• area kotangens hiperbolni, Arcth, itd.

Hiperbolni sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije, te stoga imaju prave inverze, dok je kosinus hiperbolni paran, pa area kosinus hiperbolni definiramo kao inverz desne polovice (x ≥ 0) funkcije ch x.

Jednakosti

$\operatorname {Arsh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

$\operatorname {Arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right),\quad x\geq 1$

$\operatorname {Arth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\quad \left|x\right|<1$

$\operatorname {Arcth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\quad \left|x\right|>1$

Derivacije

${\begin{aligned}\operatorname {sh} 'x&=\operatorname {ch} x\\\operatorname {ch} 'x&=\operatorname {sh} x\\\operatorname {th} 'x&=1-\operatorname {th} ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\\\operatorname {cth} 'x&=1-\operatorname {cth} ^{2}x=-\operatorname {cosech} ^{2}x=-{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}&&x\neq 0\\\operatorname {sech} 'x&=-\operatorname {th} x\operatorname {sech} x\\\operatorname {cosech} 'x&=-\operatorname {cth} x\operatorname {cosech} x&&x\neq 0\\\operatorname {Arsh} 'x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\\operatorname {Arch} 'x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&x>1\\\operatorname {Arth} 'x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\\operatorname {Arcth} 'x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|>1\\\operatorname {Arsech} 'x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\\operatorname {Arcosech} 'x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}$

Zbog svojih banalnih derivacija, area funkcije se relativno često pojavljuju kao integrali jednostavnijih funkcija.

Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni jednaki su vlastitoj drugoj derivaciji:

${\begin{aligned}\operatorname {sh} ''x&=\operatorname {sh} x\\\operatorname {ch} ''x&=\operatorname {ch} x\end{aligned}}$

Sve funkcije s tim svojstvom (uključujući e^x i e^−x) su linearne kombinacije sh i ch.

Vidi i

• Popis integrala hiperbolnih funkcija
• Popis integrala inverznih hiperbolnih funkcija

Vanjske poveznice

• Hiperbolne funkcije, Hrvatska enciklopedija
• Elementarne funkcije, grad.hr

Trigonometrijske i hiperbolne funkcije

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans Funkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Hiperbolna sh(x) ch(x) th(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Inv. hiperbolna Arsh(x) Arch(x) Arth(x) Arcth(x) Arsech(x) Arcosech(x)